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1. 그래프 모드 - 미분 방정식 Diff Eq

  • 미분 방정식 그래프 모드에서는 (대수적으로 시스템을 특징짓는) 미분 방정식을 풀지 않고도, 역동적인 과정(변화)를 탐색할 수 있습니다.
  • 새로운(OS Ver 3.0에서 업데이트됨) 2D 그래프 유형인 미분 방정식은 미분 방정식의 해를 근사화하는 슬로프(Slope) 필드와 방향(Direction) 필드의 플롯을 제공합니다. 사용자는 Euler와 Runge-Kutta 해법 중에서 선택할 수 있습니다.
  • (여러) 초기 조건에 따라 특정 솔루션을 시각화 할 수 있습니다. 초기 조건은 좌표 평면에서 드래그 할 수 있으며 특정 솔루션이 자동으로 업데이트됩니다.
  • 그래프 유형 미분 방정식은 동일한 좌표계에서 다른 2D 그래프 유형과 결합 될 수 있습니다.

(TI-nspire OS Ver3 Release Note 에서 발췌)

 

2. 옵션

TI-Nspire_CX_CAS_Student_Software_2019-02-06_13-15-42.png

  • Solution Method(수치해석 방법) :
    Euler / Runge-Kutta 중 선택
     
  • Iterations between plot step(Euler 방법에서 계산의 정확도 결정) : 1 ~ 정수값
    Error Tolerance(RK방법에서 오차 허용) : 허용 범위 ≥ 1x10^-14
     
  • Field(장) :
    None - 표시하지 않음
    Slope - 경사
    Direction - 두 미분 방정식 사이의 관계를 나타내는 기울기 방향 
     
  • Axes :
    Default(x and y) 
    Custom - 2개이상 미분 방정식일 때 사용
    The available entries are :
    • ​​​x 독립변수
    • y1 and y2 (or any other identifiers defined in the editor)
    • y1’ and y2’ (or any other derivatives defined in the editor)
       
  • Plot Start :
    솔루션 플롯이 시작되는 독립 변수값을 결정
  • Plot End :
    솔루션 플롯이 끝나는 독립 변수값을 결정
  • Plot Step :
    값이 표시될 독립변수 값의 증가량을 결정
     
  • Field Resolution :
    Field 표시할 열의 갯수 결정
     
  • Direction Field at x= :
    방향 필드가 그려지는 독립변수의 값을 설정

참고 : (TI-edu) (Dummies)

 

3. 예시 y'=2x, y(0)=1

1. y'=2x, y(0)=1 인 미분 방정식을 이용해 그래프를 그려 보겠습니다.

TI-Nspire_CX_CAS_Student_Software_2019-02-06_12-26-57.png 
x는 그냥 x로, y는 y1 또는 y2로 입력합니다.
TI-Nspire_CX_CAS_Student_Software_2019-02-06_12-27-36.png

2. 미분 방정식을 풀면 y=x^2 + 1 이 됩니다. 
이 그래프를 겹쳐 확인해 보면 얼추 같아 보입니다.

2019-02-06_12-33-51.png

3. 하지만 확대해 보면... 원래 그래프와는 오차가 있습니다.

2019-02-06_12-37-09.png
f1(0.5) = 0.5^2+1 = 1.25

4. 이를 해결하기 위해 Diff Eq 엔트리 옵션에서 Iterations Between Plot Step 을 기본값인 1에서 10으로 올려 보았습니다.

 2019-02-06_12-43-35.png
오차가 줄어들었습니다. 그래도 점 찍힌 모양새가 원 그래프와 일치하지는 않는 것 같습니다.
Iteration 횟수를 늘리는 대신 Plot Step 을 줄여도 오차는 줄어듭니다. 
​​​​

5. Plot Step 을 줄이면 점 찍히는 간격이 줄어 촘촘해지는 것은 확실한데, 
Plot Start / End 는 정확히 어떤 역할을 하는지 잘 모르겠습니다. 

 

6. 초기 조건이 여럿인 경우 그래프도 여럿이 출력됩니다.

TI-Nspire_CX_CAS_Student_Software_2019-02-06_16-09-20.png 2019-02-06_16-11-01.png

 

 

4. 주의 

초기 조건값의 선택에 따라 plot 그려지는게 달라질 수 있습니다. 초기 조건값을 만족하는 그래프plot이 딱 하나일 수도 있지만, 여러개일 가능성도 있기 때문입니다.

초기 조건값을 여러개 넣는 경우, (desolve 함수와 달리) 모든 조건값을 동시에 만족하는 그래프를 찾는 것이 아니고, 각각의 조건값을 만족하는 모든 그래프를 모조리 찾기 때문에, 조건값은 가급적 하나만 넣는 것이 바람직한 것 같습니다.

그리고 ​​​slope(기울기)가 0 또는 ∞ 이 되는 점을 초기값으로 주는 것은 바람직하지 않은 것 같기도 한데, 이것 역시 케이스바이케이스입니다.

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