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1. 성장연금이란?

'성장연금'이란 매기의 납부(or 획득)하는 연금액이 일정한 "비율(g, growth)"로 증가하는 연금을 말합니다. 연금액의 성장률은 시장이자율보다 클 수도 있고 작을 수도 있습니다. (일반적으로 시장이자율보다는 작습니다. 특히 영구 성장연금에서는 작아야만 합니다.)

배당액이 매년 증가하는 주식의 가치를 평가할 때도 사용할 수 있고, 연봉이 매년 증가할 때, 연봉 수입의 현재가치를 구할 때도 사용할 수 있습니다. 

 

2. 영구 vs 비영구(기간)

연금을 수령하는 기간이 한정되어 있는 연금은 비영구이고, 기간이 무한(∞)한 연금은 영구성장형 연금이라고 부릅니다. 

 

3. 계산 공식

기수 연금 수령액 현재가치(PV) 비고
1기 a a/(1+r) 시장이자율 = r
2기 a × (1+g) a × (1+g) / (1+r)²
= (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r))
 
3기 a × (1+g)² a × (1+g)² / (1+r)³
= (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r))²
 
n기 a × (1+g)ⁿ-¹ (a/(1+r)) × ((1+g)/(1+r))ⁿ-¹  
  • 1기 ~ n기까지 연금 수령액의 현재가치를 나열하면 등비수열을 이룹니다.
    초항=pv= (a/r), 공비=r_g=(1+g)/(1+r)
  • 따라서 1기 ~ n기의 연금 수령핵 현재가치 합계 ∑(PVk) 은 등비수열의 합과 같습니다. 
  • 비영구 성장연금의 현재가치는 등비수열의 합의 공식을 이용하고, 
    영구 성장연금(n→∞)의 현재가치는 무한등비급수 공식을 이용하면 됩니다. 
    공식에 대한 상세한 내용은 위키:등비수열 등을 참고하시기 바랍니다. 

 

4. 재무/공학용 계산기의 활용 예시

예시) 비영구 성장연금

첫해(1기 말)의 연금수령액이 100원이고, 매년 10% 증가한다(g=0.1). 5년간 연금을 수령한다고 할 때 연금의 현재가치(PV)를 구하여라. (단 시장 이자율은 15% 이다.)

  1. 해법1 : 매기의 연금을 계산하고, 그 현재가치를 각각 구해서 더함
    03-27-2016 Image003-32p.png
    npv(r*100, 0, pension) = 398.6
     
  2. 해법2 : 등비수열의 합(=등비급수)의 공식을 이용
    (초항 pv0, 공비 r_g)
    03-27-2016 Image004-32p.png
     
  3. 해법3 : 재무함수 tvmPV() 를 이용
    (일정한 연금의 현재가치와 동일하게 파악, 대신 시장이자율(i)을 조정하여 대입)
    03-27-2016 Image006-32p.png
    이 때는, pv0×(1+i) 가 매기 연금액에 해당함에 주의하여야 합니다. 
    마지막 계산식에서 ,,,1 은 기초(期初,BGN)에 연금을 수령하는 것을 의미합니다. 

 

 예시) 영구 성장연금

영구 성장연금은 n이 무한대(∞)이기 때문에 CF 를 모두 입력하여 계산할 수가 없습니다. 따라서 공학용 계산기든 재무용 계산기든 위에서 살펴본 해법1과 해법3은 사용할 수가 없고, 오직 해법2처럼 이에 해당하는 공식에 대입해 결과를 얻을 수밖에 없습니다. (등비급수보다 공식은 오히려 더 간단합니다)

공식 : S=pv01-r_g=pension1r-g (단, r_g<1이어야 함. 즉, r>g)
03-27-2016 Image008-32p.png

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